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①四、五世纪时住在北非的罗马作家。曾用诗文混合体裁写作综论各种学科的《语文学与信使神墨丘雷的结婚》。——译者
第十一章 数学对于理解各种神圣真理是巨大的帮助
我们的所有最伟大的哲学家和神学家都一致断定，可见的宇宙是那不可见的东西的一个忠实反映，而且从被造之物出发，我们可以提高到对造物主①的知识，好像“对着镜子观看，模糊不清”。在研究本身超出代们所能及的范围的精神事物时，使用符号的基本理由已经说明。虽然我们既不知觉它，又不理解它，但我们至少知道一个事实，即一切事物都处于某种相互关系之中；由于这种相互关系，一切个体结合而构成整个宇宙，并且在这独一的绝对中，存在物的众多性就是统一本身。每一形象都是范型的一个近似的复制品；然而，除了在大自然的统一中的绝对形象和范型本身以外，再没有一个形象会那么如实或精确地复制出原型，以致完全排除还会有无限数量的更如实或更精确形象的可能性，这我们已经弄明白的了。
当我们使用一个形象，并尝试用类比的方法去比拟一个尚不知道的东西时，关于那个形象就必须是完全无可怀疑的；因为只有通过假定了的前提和确定的事物，我们才能达到未知的事物。但在一切事物之中，充满了可感知的物质的可能性，它说明一切事物都是在不断流动变化的状态中。我们对事物的知识并不是完全不顾到它们的物质状况而取得的，不问物质状况，不可能形成事物的任何形象；但也不是全盘都依靠于这些事物的一切可能变化而取得；而是我们越从感性状况中进行抽象，我们的知识就越是确定和可靠。数学就是这种抽象知识的一个例子。这就说明了哲学家们为什么如此乐于到数学中寻找悟性所要考察的事例；没有一个古代的大师在解决难题时，不使②用数学的例证，所以，罗马人中最有学问的波伊修斯甚至说，没有数学知识，要获得关于神圣事物的知识是不可能的。
按第一个被称为哲学家，事实上也的确是第一个哲学家的毕达哥拉斯所说，开启一切真理的钥匙，不是只有到数中去寻找吗？遵照毕达哥拉斯的主张，柏拉图学派的哲学家们和我们自己的主要哲学家们，如奥古斯了和以后的波伊修斯，都毫不犹豫地断定，数是创造一切事物之造物主心中的基本范型。亚里士多德，不同意柏拉图学派，似乎渴望要成为这一规律的一个例外，但他在所著《形而上学》一书中还是发现，除了与数相比较以外，没有可能解释那些特殊的差异；当他想要说明，在自然界里一个形式处于另一形式之中时，他不得不到数学形体中去找例证：“恰如三角形处于四边形之中一样，较低的形式也都包含在较高的形式之中”；他还有无数这一类的例子，这里就不必多提了。柏拉囹学派哲学家奥里利乌？奥古斯丁在处理灵魂的量和灵魂的不死以及其他一些高深题目时，也求助于数学。波伊修斯这样高度地重视这个方法：他坚持一贯地断定，一切真理部包含在数与量之中。如果你希望我更简洁一点——那么，伊壁鸠鲁学派关于虚空中的原子的学说（这一学说同时涉及否定神的存在和一切真理的崩溃），不是唯独靠毕达哥拉斯派和逍遥学派的数学论证才予以驳倒的吗？而伊壁鸠鲁认为理所当然的根本原理则是，在一切事物之中，最后终将能够找到单纯的不可分割的原子。
顺着古人的道路，我们完全与他们一致地认为，由于除了借助于符号以外我们没有别的法子探索有关神圣事物的知识，我们最好还是由于它的不可毁灭之确定性而使用数学记号。
①见《新约？哥体多前书》，第13章12节。——译者
②五、六世纪间的罗马政治家和哲学家，著有《哲学的安慰》，并将亚里士多德的一些著作译为拉丁文。——译者
第十二章 用数学记号为我们的目的服务的方法
从我们已经讲到的，现在已经非常明显，没有一个我们所知道的客体，或我们对它多少有一点观念的客体，能够是绝对的极大；因为我们打算使用符号来进行我们对极大的探讨，所以我们必须寻找某种并非只是简单的比较的方法。事实上，我们在数学中始终是在处理有限的事物，因为，如果它们不是有限的，我们就根本无法对它们形成任何观念。那么，如果我们想要通过有限的事物去把握绝对的极大，我们就必须首先就其本来面目来研究有限的数学形体，即潜在与行动的一种混合物；然后，我们必须以各个相应的完善条件来描述有关的无限形体，最后，我们必须以更为崇高得多的升华方式用各个无限形体的完善条件来描述单纯的无限，后者不可能由任何一个形体来加以表述。因此，当我们在暗中摸索时，我们的无知就会以不可理解的方式来启迪我们，并使我们能够对绝对形成一个更正确和更真实的观念。
在使用这种方法，并以无限的真理作指导时，我们注意到了那些研究形体的圣人们和智力超群的人们所用的表达方式之间的不同。例如，圣安瑟伦把绝对真理比之于无限的笔直性；我们遵照他，就把直线作为代表笔直性的形体。有些很有学识的人把最神圣的三位一体同三个角都是直角的一个三角形作了个比拟，这样的三角形可以叫做无限，因为，如我们将要看到的，这种三角形的边必须是无限的；我们也将效法这个见解。另外一些人竭力设法描绘无限的“一”，他们说上帝是一个无限的圆；也有些人由于他们考虑到上帝存在这最完善的行动，把上帝比之于无限的球。我们将阐明所有这些观点都是正确的，所有这些观点所形成的也仅仅只是一种意见。
第十三章 绝对无限的线的各种变化
如果有一条无限的线，我认为它同时就是一条直线、一个三角形、一个圆、一个球；与此相似，如果有一个无限的球，它也就会同时是一个圆、一个三角形和一条线；而且，无限的三角形和无限的圆也都将如此。
首先，显然无限的线是一条直线。圆的直径是一条直线；圆周是一条曲线并比直径长。那么，如果随着圆的扩大，圆周的曲度就变小，这样，所可能有的绝对最大的圆，其圆周就将是所可能有的曲度最小的曲线，因此，它将是绝对的笔直。因此，极大和极小是如此同一，以致我们最清楚地看到，在无限中并存着笔直的绝对极大与弯曲的绝对极小。对于这里所设定的图形进行一次研究，便将扫除在这点上的一切可能的怀疑。我们看到，较大圆上的C—D弧的曲度比较小圆上的E—F弧的曲度小，E—F弧的曲度又比更小的圆上的C—H弧的曲度小；因此，直线A—B是所可能有的最大圆上的弧。
在这里，我们的第一点得到了证明。因为我们已经阐明，单纯无限的线必然是完善地直，在这样一条线中，直与弯曲不是相互排除的，而是同一回事。
第二，我们已经说过，无限的线就是一个无限的三角形、圆或球。要确立这一点，我们必须从对有限的线进行研究中发现有限的线的潜在性；从中我们将把我们所试图论证的观点表达得更加明白，因为我们知道，在有限的线中是潜在的一切，在无限的线中是现实的。
现在，我们知道，从来没有一条有限的线是这样长或直，以致不能比它更长更直了，并且，我们已经证明无限的线是最长的最直的。那未，如果我们有一条线A—B，如果点A保持固定，这条线被移动到它达到C，就画出了一个三角形；如果这条线继续移动，直到它回到B，就画出了一个圆。使A仍然固定，让我们假定B再被移动，直到它达到与起始的点B正相对的点D；A—B与A—D形成一条连续线，并画出了一个半圆。下一步。让我们假定直径B—D是固定的，半圆以直径为轴旋转一周；这样我们就有了一个球形，而球就是一条线的最后和全部的现实化，因为再没有更完善的形体能够从球产生了。
因此，如果有限的线潜在地是所有上述各个形体，而且，如果在无限的线中，有限的线的一切潜在性都得到实现，那末，就可能得出结论，无限的线是一个三角形、一个圆和一个球；那就是所要证明的。
如果你希望得到一个更清楚的解释来说明有限的东西的潜在性如何在无限中现实化，我将使你完全信服。
第十四章 无限的线是一个三角形
对想像力来说，直线与三角形的重合似乎总是不可能的，因为想像力的视界局限于物质秩序，在一条物质的线与三角形之间，只有格格不入而已；但是对于悟性来说，那就并不难领悟一条线能够是一个三角形。事实上，我们已经确立只能有一个绝对和无限。现在，因为三角形的任意两边相加不能小于第三边，显然，在一个三角形中，如果它的一条边是无限的，其他两条边就不可能较无限为小。由于无限的每一部分都是无限的，这就必然推论出，如果某一三角形的一条边是无限的，其他两边也就是同样无限的。不可能有一个以上的无限；因此，我们的先验性结论是：无限的三角形虽然是一切三角形的完善模型，但它不是由一组复数的线构成的，不是任何意义上的一个复合体，而是最完善地不可分割的；而且，由于它是完善的模范的三角形，它必须有三条线；因此，一条无限的线本身就是三条线，而这三条线正是一条完善地不可分割的线。这同样也适用于角，于是三个角就是一个角。并且，那个无限的三角形将不由边与角组合而成；无限的线与角是同一件东西，所以，因为三角形就是线，线就是角。
如果你不局限于研究感性秩序中的三角形，还进而思考到理想的三角形，你也会发现这样做对把握这个真理有所助益。感性秩序中的每个三角形，三个角的和都等于两个直角；如果一个角比较大，其他两个角就相应地小些。按照我们的基本原理，任何一个角的可能扩展限度都小于180°，但是，如果我们假定那个角充分地扩大到180°，而三角形仍然存在，那么，很明显，这就是一个只有一个角的三角形，而这一个角就是三个角，并且这三个角也就是同一个角。
与此类似，你也可以看到一个三角形如何是一条线。在感性秩序中，三角形的任何两条边所形成的夹角越是成为锐角，它们加在一起就越是大于第三边；例如，B—A线与A—C线加在一起比B—C线长得多，因为B—A—C角更为锐角。反过来，例如B—A—C角越大，B—D线和D—C线加在一起的长度就超过B—C越少，而且这个三角形的面积也越小。这样，如果我们假定这个角是一个180°的角，整个三角形就会化为一条单纯的线。
因此，这种假定虽然在物质秩序中不可能实现，它却可以帮助你登上悟性的秩序。在那里，物质秩序中所不可能的事情，不仅作为一种可能性被看到，而且作为一种绝对的必然性被看到；在那里，无限的线显然就是无限的三角形；这就是我们要证明的。
第十五章 无限的三角形是一个圆和一个球
我们现在可以看得更清楚，三角形如何是一个圆。让我们假定三角形A—B—C是A—B线在点A固定不动的情况下移动到点C而画出来的；如果这条线是无限的，如果它继续它的旋转，直到它回到它原来的位置，毫无疑问我们就有了一个无限的圆，而B—C是它的一个部分。由于它是一个无限的弧的一个部分，B—C便是一条直线。那么，由于无限的东西的每一部分也都是无限的，因此，
B—C不小于整个无限的圆周；因此，
B—C不仅是一个部分，而是在最充分涵意上的圆周。我们必然得出结论，三角形A—B—C是无限的圆。
既然圆周B—C是一条直线和无限的，A—B就不可能比它更大，因为没有什么东西会比无限更大；事实上，它们并不是两条不同的线，因为不可能有两个无限。因此，无限的线，它既是一个三角形，也就是一个圆，这就是我们所要证明的。
这样便能很清楚他说明，无限的线也是一个球；我们已经证明，A—B线不仅是无限的圆的圆周，而且甚至就是那个圆本身；正如我们所说，在画出那个三角形时，它移动到B落于C时为止。现在也已经证明，B—C是一条无限的线，因此，A—B借着在它自己的轴上旋转一整圈，便回到了C，当一个圆这样旋转一周，它就必然产生一个球。那么，如果像我们所已经证明了的那样，A—B—C是一个圆、一个三角形和一条线，我们现在又已证明它也是一个球。事实上，这些就是我们所要考察的真理。
第十六章 极大同一切事物的关系可比之于无限的线同一切线之间的关系
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