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怂慵虻サ毓乖斓谋泶锸蕉杂谙衷诘奶致鄹校绂薴。〔f（fx）〕。
这是一个函数，当它作用于另一函数，譬如讲g时，产生g两次递归地作用于x上的函数，也就是（λf。〔f（fx）〕）g=g（gx）。
我们也可以首先“抽象化走”x以得到λf。〔λx。〔f（fx）〕〕；此式可以缩写成λfx〔f（fx）〕。这是当作用于g时产生“g被递归两次”的函数。事实上，这正是撤屈将其和自然数2相等同的函数。2=λfx．〔f（fx）〕，这样，（2g）y=g（gy）。他类似地定义：3=λfx．〔f（f（fx））〕，4=λfx〔f（f（f（fx））〕，等等，以及1=λfx．〔fx〕，0=λfx，〔x〕。撤屈的“2”真的更像“两次”，它的“3”是“三次”等等。这样3在一个函数f上的作用，也就是3f是“把f递归三次”的运算。因此，3f在y上的作用是（3f）y=f（f（f（y）））。
让我们看看，一个非常简单的算术运算，也就是如何把1加到一个数上的运算在撤屈方案中表达出来。定义S=λabc．〔b（（ab）c）〕。
为了阐明S的确简单地把１加到用撤屈记号表示的一个数上，让我们做这样的检验：S3=λabc． 〔b（（ab）c）〕3=λbc． 〔b（（3b）c）〕=λbc。〔b（b（b（bc）））〕
=4，这是由于（3b）c=b（b（bc））。很清楚，这可同样好地适用于任何其他自然数。（事实上λabc．〔（ab）（bc）〕可以和S一样好地做到。）
把一个数乘二又如何呢？这种加倍可由D=λabc．〔（ab）（（ab）c）〕获得，它可再次由作用于３上而得到验证：
D=λabc。〔（ab）（（ab）c）〕3=λabc。〔（3b）（（3b）c）〕
=λabc。〔（3b）（b（b（bc）））〕=λabc。〔b（b（b（b（b（bc）））））〕=6。
事实上，加法、乘法和升幂的基本算术运算可分别定义为A=λfgxy。〔（（fx）（gx））y〕；M=λfgx。〔f（gx）〕；P=λfg。〔fg〕。
读者也许介意使自己或他人信服，我们的确有如下结果：
（Am）n=m＋n，（Mm）n=M×n，（Pm）n=nm，这儿m是n是撤屈的两个自然数的函数，m＋n是它们和的相应函数，等等。 最后那个公式是最令人惊异的。 让我们仅仅检验其m=2， n=3的情形：
（p2）3=（（λfg。〔fg〕）2）3=（λg。〔2g〕）3=（λg。〔λfx。〔f（fx）〕g〕）3=λgx。〔g（gx）〕3=λx。〔3（3x）〕
=λx。〔λfy。〔f（f（fy））〕（3x）〕
=λxy。〔（3x）（（3x）（（3x）y））〕
=λxy。〔（3x）（（3x）（x（x（xy）））））〕
=λxy。〔（3x）（x（x（x（x（xy）））））〕
=λxy。〔x（x（x（x（x（x（x（x（xy））））））））〕
=9=32减法和除法不是这么容易定义的（我们的确需要某种当m比n小时“m…n”以及当m不能被n整除时“m÷n”的惯例。事实上，二十世纪三十年代早期克利涅发现如何在撤屈的方案中表达减法运算被认为是这一学科的重要里程碑！后来接着又有其他的运算。最后，撤屈和图灵在1937年独立地指出，不管什么样的可计算的（或算法的）运算（现在在图灵机的意义上）都可以按照撤屈的一种表达式获得（而且反之亦然）。
这是一个真正惊人的事实，它被用来强调可计算性思想的基本客观性以及数学特征。初看起来，撤屈的可计算性概念和计算机器没有什么关系。然而，它和实际计算具有某些基本关系。尤其是，有力而灵活的电脑LISP语言以一种根本的方式参与到撤屈计算法的基本结构中来。正如我早先指出的，还有其他定义可计算性概念的方法。波斯特的计算机器的概念和图灵的非常接近，并且几乎是同时独立提出的。近世还有更有用的可计算性（递归性）的定义，这是J？赫伯拉德和哥德尔提出的。
H？B？邱雷在1929年，以及M？轩芬克勒在1924年稍早些时候提出了不同的方法，撤屈计算法就是部分地由此发展而来（参见甘迪1988）。现在研究可计算性的手段（诸如在（卡特兰1980）中描述的一台无限记录机器）在细节上和图灵原先的相差甚多，而且它们更实用得多。然而，不管采用那种不同的手段，可计算性的概念仍然相同。
正如许多其他的数学观念，尤其是更美丽的、更基本的那些，可计算性的观念似乎自身具有某种柏拉图的实在性。在下面两章，我们应该探讨的正是数学概念的柏拉图实在性的这个神秘问题。
注 释1．我是采用当代通常的术语，它现在把零包括在“自然数”之中。
2．还有许多把一对、三个等等数编码成单独一个数的其他方法。虽然它们对于我们现在的目的不甚方便，数学家却熟知这些方法。例如，公式 便是用一个单独的自然数来代表一对自然数 。 12（（a ＋ b） ＋ 3a ＋ b） （a； b）
2试试看！3．我在上面没花工夫去引进某种表示起始一个数（或指令等等）的序列的记号。这对于输入没有必要，由于当遭遇到第一个1时事情刚刚开始。然而，对于输出需要某些其他东西，这是由于人们预先为了达到第一个（也就是最左边的）1不知道要沿着输出磁带看多远。尽管在往左看时会遇到0的很长的串，这并不能保证在左边更远处不再有1。人们对此可采用不同的观点。其中一种总是用特殊记号（譬如，在收缩步骤中用6来编码）去启始整个输出。但是为了简单起见，我在自己的描述中将采用不同的观点，也就是总“知道”仪器实际上已遭遇到了多长的“磁带”（例如，人们可以想象，它留下了某种痕迹），在原则上不必去检查无限长的磁带，就能肯定整个输出已被查过。4．一种把两盘磁带的信息编码到单独一盘磁带上的方法是插入法。这样，这盘单独磁带上的奇数号码的记号可代表第一盘磁带的记号，而偶数号码的记号可代表第二盘磁带的记号。可用类似的方案来处理三盘或更多盘磁带。这一过程的“低效率”起因于如下事实，即阅读机必须沿着磁带不断地来回进退，并在上面留下记号以记住在该磁带偶数和奇数部分的什么地方。5．这一过程只是指作过记号的磁带可解释作自然数的方法而言。它并不改变我们特定的图灵机的编号譬如EUC或XN＋1。6．如果Tn/没有被正确地指定，则 U只要在n的二进位表示中到达多于四个1的第一串，就会像n的数已被终止那样进行下去。它就会把该表示式的余下部分当成m的磁带的部分来读，所以它会继续进行某种毫无意义的计算！如果需要的话，可采用扩展二进位记号来表示n，这种特征就能被清除。我决定不这样做，以免使这台可怜的普适机器U更加复杂！
7．我感谢大卫？德义奇根据以下我得到的u的二进位形式推导出十进位形式。我还感谢他检验u的这个二进位值实际上的确给出了一台普适图灵机！事实上u的二进位值为：
1000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010100101011010010011101001010010010111010l10011101010100100101011101010100110100010100010101101001000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100110100010101001011010000110100010