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摹⒁嗉疵挥谐叨鹊牡恪Ａ硗獾陌旆ㄊ墙堑弊髑蜃吹母招郧颉Ｎ蘼廴绾危颐嵌急匦爰俣ㄖ懒Φ亩桑纾６僖β壑械囊Φ姆雌椒铰伞Ｎ颐腔挂宰匀坏钠渌Γ热绲缌痛帕Γㄍ考卦�1600年首先仔细研究过）以及现代已知将粒子（质子和中子）绑在一起形成原子核的强核力的定律也表述出来。电力正和引力一样满足反平方律，但类似的粒子互相排斥（而不像引力那样互相吸引）。这里不是粒子的质量，而是它们的电荷决定它们之间电力的强度。磁力和电力一样也是“反平方的”②，但是核力以相当不同的形式随距离而变化。在原子核中当粒子相互靠得紧密时核力极大，而在更大距离下则可以忽略不计。
假定我们采用刚体圆球的模型，并要求两个球碰撞时，它们即完全弹性地反弹。也就是说，它们如同两个完好的撞球那样，在能量（或总动量）没有损失的情况下分离开。我们还必须明确指明两球之间的作用力。为了简单起见，我们可以假定任两球之间的作用力都沿着它们中心的连线，其大小为该连线长度的给定的函数。（由于牛顿的一个出色的定理，此假设对牛顿引力自动成立。对其他力的定律，这可当成一个协调的要求而加上的条件。）如果刚体只进行成对碰撞，而不发生三个或更多个的碰撞，则一切都定义得很好，而且结果会连续地依赖于初始条件（亦即只要初态的变动足够小，财能保证结果变化也很小）。斜飞碰撞的行为是两球刚好相互错过的行为的连续过渡。但在三球或多球碰撞的情形下就产生了新问题。例如，如果三球ABC一下子跑到一块，那AB先碰撞，紧接着C和B碰撞，或AC先碰撞，紧接着B和A碰撞，情况就很不一样（见图5。8）。在我们的模型中，只要有三碰撞发生就存在非决定性！只要我们愿意，就可以用“极不可能”的理由简单地将三碰撞或多碰撞的情形排除掉。这就提供了一种相当一致的方案，但三碰撞的潜在问题表明终态将以不连续的② 用现代的语言，这表明存在分数M/N 使得a/b＞M/N＞c/d。只要a/b＞c/d则在两实数a/b和c/d之间一定存在一个这样的分数，以使欧多索斯判据确实被满足。方式依赖于初态。
图5。8三碰撞。最后的行为关键地决定于哪两球先碰撞，这样使得结果不连续地依赖于起因。这有点使人不满意，我们也许会更喜欢点粒子的图像。但是，为了避免某些点粒子模型引起的理论困难（当两个粒子撞到一起时出现的无限大力和无限大能量），人们必须做其他假设，诸如在短距离时粒子的相互作用力变成非常强的排斥力等等。在这种情形下，我们可以保证任何一对粒子实际上都不会碰撞到一起。（这也使我们避免了它们碰撞时的点粒子如何行为的问题！）然而，为了直观起见，我宁愿完全按照刚球模型来讨论。看来这种“撞球”图像正是大多数人下意识的实体的模型。
牛顿5撞球的实体模型（不管多碰撞问题）确实是一个决定论模型。
此处“决定论”的含义是：所有球（为了避免某些麻烦，假定为有限个）
在将来（或过去）的物理行为数学地被某一时刻的位置和速度所完全决定。这样看来，在这个撞球的世界上根本没有余地让“精神”用“自由意志”的行动去影响物体的行为。我们如果还信仰“自由意志”的话，就要被迫对实际世界的如此构成方式提出质疑。这个令人烦恼的“自由意志”问题一直徘徊在这整部书的背景里――虽然在多数情况下，我必须说只在背景里。在本章后头有一个很小却很奇特的地方牵涉到它（关于相对论中超光速讯号传递的问题）。我将在第十章直接着手自由意志的问题。读者一定会对我的结果深感失望。我的确相信，这里存在一个真正的、而非想象的问题。但它是非常根本的，并且要把它表述清晰非常困难。物理理论中的决定论是一个非常重要的问题，但是我相信这只是问题的一部分。例如，这个世界很可能是决定性的，但同时却是不可计算的。这样，未来也许以一种在原则上不能计算的方式被现在所决定。我将在第十章论证，我们具有意识的头脑的行为的确是非算法的（亦即不可计算的）。相应地，我们自信所具备的自由意志就必然和制约我们在其中生活的世界的定律中某些不可计算部分紧密地纠缠在一起。是否接受这样的关于自由意志的观点，亦即给定的物理（例如牛顿）理论，是否的确是可计算的，而不仅仅是否是决定性的，是一个有趣的问题。可计算性不同于决定性――这正是我试图在本书所要强调的。撞球世界中的生活是可计算的吗？我现在使用一个决定性的、但不可计算的“玩具宇宙模型”，来解释可计算性和决定性是不同的。我承认这是一个人为的特别例子。宇宙任何“时刻”的“态”可用一对自然数（m，n）来表示。用 Tu表示一台固定的普适图灵机，譬如在第二章（63页）定义的那一台。为了决定下一“时刻”宇宙的态，我们必须知道Tu在m上的作用最终停止不或不停（亦即用第二章65页的记号，Tu（m）≠□还是Tu（m）=□成立）。如果它停止，则下一时刻的态为（m＋1，n）。如果它不停止，则为（n＋1，m）。从第二章我们知道，不存在图灵机停止问题的算法。这样就不存在去预言这个模型宇宙“将来”的算法，尽管它是完全决定性的6！当然，这不能认为是一个严肃的模型。但它表明存在一个要回答的问题。我们可对任何决定性的物理理论考察其可计算性。那么，牛顿的撞球世界究竟是否可计算的呢？
物理可计算性的问题部分地依赖于我们打算对此系统问哪一种问题。
在牛顿撞球模型中，我能想到一些可以问的问题，我对这些问题的猜测是，要弄清其答案不是一个可计算（亦即算法的）事体。球 A和球B究竟会碰撞否便是这样的一个问题。其思路是，在某一特定时刻（t=O）所有球的位置和速度作为初始数据给定后，我们要知道，A和B是否会在将来的任一时刻（t＞O）碰撞？为使这个问题更明确（虽然不是特别现实），我们可以假定，所有球的半径和质量都一样，并且每一对球之间的作用力是反平方律的。我之所以猜想这是非算法可解的问题的一个原因是，该模型有点像爱德华？弗列得钦和托马索？托弗里在1982年提出的“计算的撞球模型”。在他们的模型中，球被若干堵“墙”所限制（而不是反平方律的力）；但是它们互相以类似于我刚描述过的牛顿球那样弹性反弹（见图5。9）。在弗列得钦――托弗里模型中，所有电脑的基本逻辑运算都可由球来实现。我们可以模拟图灵机的任何计算：对图灵机Tu的特别选取规定了弗列得钦――托弗里机器的“墙”等等的搭配；运动的球的初态可认为是输入磁带的信息的码，将球的终态解码就得到图灵机输出磁带的信息。这样一来，人们会特别关心这样一个问题：如此这般的图灵机会有停止之时吗？“停止”的是意味着球A最终和球B碰撞。我们已知这个问题不能用算法回答（71页），这事实至少暗示我前面提出的“球A最终和球B碰撞吗？”的牛顿问题也不能用算法回答。事实上，牛顿问题比弗列得钦和托弗里提出的问题要棘手得多，后者可依照分立变数（亦即按照诸如“球或者在通道上或者不在”的“在或不在”的陈述）来指明其状态。但在完整的牛顿问题中必须以无限的精度，按照实数的座标而不是以分立的方式指明球的初始位置和速度。这样，我们又面临着在第四章处理关于孟德勒伯洛特集是否可递归的问题时所必须考虑的所有麻烦。当允许输入和输出数据为连续变化的变数时 “可计算性”的含义是什么呢7？我们可以暂时假定所有初始位置和速度座标均为有理数（虽然不能预料在t的时刻以后的有理数仍保持为有理数），而使此问题变得稍为缓和。我们知道有理数为两整数的比，所以为一可列集。我们可用有理数来任意地逼近所选择用来考察的任何初始数据了。对于有理数的初始数据，也许不存在决定A和B是否最终会碰撞的算法的猜测决不是毫无道理的。图5。9弗列得钦――托弗里撞球电脑中的一个“开关”（由A？雷斯勒提出的）。如果一个球进入B，则是否有一个球接着从D或E出来，得看是否另一球进入A中（假定A和B的同时进入）。
然而，这并不是诸如“牛顿撞球世界是不可计算的”断言的真正含义。
我用来和我们的牛顿撞球世界作比较的弗列得钦――托弗里“撞球电脑”
的特殊模型的确按照计算而进行。无论如何，这是弗列得钦和托弗里思想的基本点――他们模型的行为应该和一台（普适）电脑一样！我试图要提的问题是，在某种意义上，人类大脑驾驭适当的“不可计算的”物理定律，能比图灵机做得更好，这一点是不是可以理喻的。追究如下的问题将是徒劳的：
“如果球A永远碰不到球B，则你的问题的答案为‘非’。”
人们可能永远也等待不到断定问题中的球不会碰到一起的时刻！那当然正是图灵机行为的方式。事实似乎很清楚地表明，牛顿撞球世界在某个合适的意义上（至少在如果我们不管多碰撞的问题之时）是可计算的。人们通常计算这种行为的方法是做一些近似。我们可以想象这些球的中心被指定在点的网格上，譬如讲网格的点被划分到百分之几单位。时间也被认为是“分立”的，所有可允许的时刻是某一小单位（用△t表示）的倍数。这就产生了一定的“速度”的可允许的分立值（两个连续允许的格点的位置的座标值的差，除以△t）。利用力的定律来计算加速度的适当的近似，再利用它使“速度”并因此下一允许时刻的新的格点位置被确定到所需要的近似程度。只要我们能维持所需的精度，则这种计算就可一直进行下去。很有可能算不了多少次其精度就失去了。以后的步骤是从更细的空间分格，以及更细的时间间隔重新开始。这一回能得到更好的精度，并在精度损失之前能计算到更久的将来的某一时刻。不断地增加细度，则计算的精度和所到达的将来的时间的长度就能不断地改进。可用这种方法将牛顿撞球世界计算到任意高的精度（不管多碰撞的问题）――我们可以在这种意义上讲牛顿世界的确是可计算的。
然而，认为这一个世界在实际上是“不可计算的”断言是具有某种含义的。这是因为得知的初始数据的精度总是受限制的。这类问题的确存在着固有的不可忽视的“不稳定性”。初始数据的极为微小的改变会导致结果行为的绝大的变化。（任何玩撞球的人，在他想用一个球去撞另一个使之落入球囊时，都知道我这样说的意思！）这在（连续）碰撞发生时尤其明显。但是，这种不稳定性行为也会发生在牛顿的引力远距离作用时（多于两体的情况下）。所谓的“混沌”或“混沌行为”经常用来表示这种不稳定的类型。例如，混沌行为对天气影响重大。虽然我们对控制基本元素的牛顿方程式了解甚多，但是远期天气预报之不可靠性则是臭名昭彰的！这根本不是那类可以任何方式驾驭的“不可计算性”。这只是因为所知的初始态的精度有限，而终态不能由初态可靠地算出。实际上只是随机因素被引入到未来的行为中而已。如果大脑的确使用了物理定律中的不可计算性的有用的因素，则它们必须具有完全不同的、并从这里引出更正面得多的特性。相应地，我根本不把这种“混沌”行为称为“不可计算性”，而将其称为“不可预见性”。正如我们很快就会看到的，在（经典）物理学中的决定性的定律中存在不可预见性，是一种非常一般的现象。在制造思维机器时，不可预见性正是我们希望尽量减小而不是去 “驾驭”的东西！为了更一般地讨论可计算性和不可预见性的问题，对物理定律采用比以前更广泛的观点将会更有助。这就促使我们不仅只考虑牛顿力学的理论，而且研究随后超越过它的各种理论。我们需要领略力学的美妙的哈密顿形式。哈密顿力学牛顿力学不仅在于非凡地应用到物理世界方面，而且在于它所引起的数学理论的丰富方面取得瞩目的成功。令人惊异的是，自然界所有超等理论都被证明是数学观念的丰富来源。这些绝顶精确的理论就作为数学而言也是极富成果的，这个事实具有一种深刻和美丽的神秘。它毫无疑问地表明，在我们经验的实在世界和柏拉图的数学世界之间有某种根本