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在我们提出的例子中，事先投入的数目应为400万美元。
不过，我们还有可能做得更好。我们可以设计一份合同，使得（1）两家公司都有报告真实成本的激励，（2）这份合同总能确保有效的继续下去或取消的决策，（3）合同能在个案分析基础上做到不盈不亏，而不仅仅是做到平均值不盈不亏。
有效合同背后的原理，是使公司将它们通过自身行动加在对方身上的成本考虑在内。我们刚才已经看到，假如每家公司都要支付对方的成本，它们就有一种激励，要宣布真实成本数字以及作出有效的继续下去的决策。不过，这又引出预算平衡的一个问题。因此，各方与其向对方支付实际成本，倒不如支付通过自身行动加在对方身上的成本的预计值或统计平均值。假如一方宣布了一个低水平的成本，这就增加了项目继续下去的机会，相应地也增加了对方公司不得不承担某些生产成本的可能性。为了促使各方将自己加到对方身上的成本考虑在内，各方的收入应为这个项目经营利润的统计平均值减去如果项目继续下去对方公司不得不承担的成本的平均值而得到的数目。假如一家公司夸大自己的成本，它将不得不经常冒项目取消而使自己得到较少收入的风险，假如它瞒报自己的成本，则会产生一个更高的“界外效益”支出，用于补偿预计可能加在对方身上的成本。
两个例子可以说明这一点。假如硬件公司宣布它的成本为低水平（1800万美元），那么，无论软件公司的成本如何，是900万美元、1200万美元还是1500万美元（三个数字出现的概率都是1/3），这个项目都会继续下去。这时，软件公司的成本的统计平均值为1200万美元。这是在计算硬件公司所得的时候，从3900万美元经营利润当中抽取的那一部分。假如硬件公司宣布它的成本为高水平（3000万美元），
那么，这个项目只会在软件公司公布低水平成本（900万美元）的时候继续下去，而这一条件出现的概率为1/3。因此，硬件公司将得到3900万美元减900万美元之后的1/3
，即1000 美元。图123 显示了计算得出的收入。在每一个格子里，硬件公司的收入位于左下方，而软件公司的收人位于右上方。
软件公司低（9） 中（12） 高（15）
低（18） 15 12 12硬 27 27 27件 中（24） 15 12 12公 27 27 27司 高（30） 15 12 125
10 10 10
图123 收入计算——第一阶段（单位：百万美元）
不过，这样计算得出的收入不能在个案分析的基础上做到平衡预算，不盈不亏。比如，若是遇到左下方的情况，项目收人为3900万美元，支出只有2500万美元；若是遇到同一行右边的另外两种情况，根本没有收入（因为这个项目没有继续下去），支出却达到2200万美元。因此，在计算过程的第二阶段必须调整支出，达到平衡。这一定要在不影响各方真实报告成本的激励的前提下进行。我们可以就对方报告的数目改变各方的收人；比如，我们可以在第一列的硬件公司收入的数字基础上加减一个任意数目，却不会改变它真实报告成本的激励。每一列的硬件公司收人以及每一行的软件公司收人都可以用这种方式进行调整，我们还可以重新安排硬件公司的支出，前提是其统计平均值保持不变，这个做法同样适用于软件公司的支出。所有这些调整使我们得到足够的自由度，可以确保在个案分析的基础上做到平衡预算。我们在图124的机制一中提出了一个可能的答案。
软件公司低（9） 中（12） 高（15）
低（18） 15 12 12硬 24 27 27件 中（24） 15 12 12公 24 27 27司 高（30） 6 3 3 33
3 3
图124 正确激励与平衡预算机制一（单位：百万美元）
这一做法具备一个不错的特征，即在考虑到上述全部9种可能性的情况下，硬件公司的收入平均值为2033万美元，而软件公司则为1000
万美元；这个2：1
的收入比率几乎恰好等于它们总的成本结构，因此，这一机制看来提供了一个在两家之间分配收人的最公平的方案。不过，若是遇到项目取消的情况，硬件公司必须支付软件公司300万美元。这可能成为事后分歧的起源。一个替代的机制，称为机制二（如图125所示），在遇到项目取消的时候可以不作任何支付。这可能更容易执行。
不过，它使硬件公司得到一个更好的结果，收人平均值达到2333万美元，而软件公司只得700万美元，比率超过3：1。如果一方在终止合作关系的时候，必须承担对方的全部支出，那么这一方就会得到正确的激励，以维持合作关系。有时候合作关系可能解除，但一方的收获并非建立在另一方的损失的基础之上。
软件公司低（9） 中（12） 高（15）
低（18） 12 9 9硬 27 30 30件 中（24） 12 9 9公 27 30 30司 高（30） 3 0 0 36 0
0图125正确激励与平衡预算机制二（单位：百万美元）
支付你加在对方身上的成本的理念，在很多情况下都非常有用。它甚至有助于我们理解拍卖当中的出价策略。
3 ．招标、拍卖的策略
许多制造或供应合同，尤其是来自政府方面的合同，有时也有私营公司的合同，是通过密封投标的招标决定判给哪一家。每一家公司提交一个密封的信封，里面开出它愿意接受这项工程的价码。然后，所有标书放在一起进行比较，开价最低的公司胜出，同时得到它所要求的价码。
假定现在有这么一份合同，比方说是建设一段高速公路，而你是一个投标者。你的成本（包括正常情况下你希望投资能够获得的回报）是1000万美元。你并不知道你的竞争者的成本，可能甚至不晓得他们究竟都是些什么人。不过，你有理由相信，他们的成本应该介于500万美元到1500万美元之间。他们当中，最佳投标者的开价落在两个极端之间任意一个数目的概率均等，也就是说，以这一范围为横轴，以每百万美元为一点，那么，落在任意一点的概率都是1/10
。这时，你应该怎样开价？
你永远不会开出一个低于你的成本的价码。比如，假定你开价900万美元。如果你没能胜出，当然没问题；但若是你赢了，你得到的价码将低于你的成本。①
你这么做等于自掘坟墓。
① 这里我们假定标书是一个已确认的承诺，你不可能事后再来谈判要求一个更高的价码。在下一章我们会讨论附带谈判的合同。
那么，开出一个高于你的成本的价码又如何？假定所有投标者都会诚实开价，我们看看如果你开价1100万美元，会发生什么事情。你必须分别考虑三种可能性。从概率角度看，十次机会里面，有五次可能遇到一些投标者开出低于1000万美元的价码，这时，你抬高开价的做法已经无法左右最后的判决；十次机会里面，有四次可能遇到最厉害的对手也开出超过1100万美元的价码，这样你可能通过开价1000万美元或1100万美元胜出，不过，较高的开价能使你多得100万美元的利润；十次机会里面，有一次可能遇到最厉害的对手开出介于1000万美元和1100万美元的价码，这时，你抬高开价的做法将使你付出痛失合同的代价。不过，若最后定价是1000万美元，这个数目只够弥补你的成本，那么这份合同对于你则可有可无。
现在将上述三种情况放在一起，你可以看到，开出一个抬高的价码对你而言是一个好的策略；用博弈论的术语来说，这个策略优于诚实开价。其他参与者其实也在打同样的主意，到了最后，所有开价都被抬高了。
如果开价等于真实成本，社会就能对这段公路作出一个精确的成本效益分析，而建设这段路的决策也就有经济效益。有没有其他出价机制可以消除夸大开价的策略激励呢？
有的。一个简单的机制就是将合同判给开价最低者，但付给她开价第二低者的价码。我们看看这一机制是怎样起作用的：假定你的成本还是1000万美元，而你打算开出1100万美元的价码。如前所述，有三种情况需要考虑。假如最厉害的对手开价低于1000万美元，你抬高开价的做法已经无法左右最后的判决。假如最厉害的对手开价也超过1100万美元，你将赢得这份合同，不过这回你将得到与最厉害的对手开价相等的价码，因此，抬高开价的做法并没有为你带来任何好处。假如最厉害的对手开价介于1000万美元和1100万美元之间，你的抬高开价的策略将使你痛失合同，而你若是说实话，将至少得到一点利润，确切地说就是最厉害的对手开出的价码超过1000
万美元的那部分。
概括起来，抬高你的成本在两种情况下都不会给你带来任何好处。因此，你有一个优势策略，即开出一个数目等于你的成本的价码。我们可以从另一个角度考察这一点，从而给这个机制带来某种新的有价值的认识。当你将自己的开价从1000万美元抬高到1100万美元的时候，你是在将一个成本加在社会身上，确切地说，是在创造将合同判给一家成本比你更高而动用的资源也更大的公司的机会。这里，和前面提到的一样，由一方加在他人身上的成本称为界外效益。一个好的激励机制必须促使你将你的行动的真实的社会成本考虑在内，包括你加在他人身上的一切界外效益。为达到这个目的，可以向你收取这些成本，或由于你避免了这些成本的发生而给予你奖励。回到我们正在讨论的例子上来，第二种方法显然是有效的。由于你没有抬高开价，你就使社会避免了实施一个不必要的、代价高昂的项目的风险，由此你将得到回报，即判给你的合同价码将等于较高的开价。
这就像我们在合作项目中讨论的第一个激励机制。对于这个案例，有效的解决方案是让开价最低的公司得到合同。这么一来，开价第二低的公司也就不会产生成本，而这笔省下的费用是一个正的界外效益。只要胜出的投标者能由这笔界外效益得到补偿，它就有说实话的激励，从而有效的决定也能顺利作出。不过，要能从投标者那里听到实话并非没有代价。美国交通部就不得不向开价最低者支付超过它自身成本的价码，确切地说就是次低开价。
我们通过这一类型的招标拍卖不仅可以购买物品，也可以出售物品。每人用密封的信封提交自己开出的价码，投标物品将售予开价最高者，但价码等于次高开价。这一方法是由哥伦比亚大学经济学家威廉·维克利（William
Vickrey）发明的，称为“维克利拍卖”或“集邮家拍卖”（因为集邮杂志用这一方法以邮递途径拍卖邮票）。这里，大家还是应该开出一个真实估价。抬高开价可能使你以高于实际价值的价码赢得这场拍卖，另一方面，压低开价并不能为你省钱，反而有可能使你出局，虽然你本来非常愿意支付次高开价。
实际上，这个只有一个步骤的方法可以产生与一场传统英式招标拍卖完全相同的结果。在英式拍卖中，所有投标者聚集在同一个房间，拍卖官依次叫出越来越高的价码。出价过程一直持续到只剩下一个投标者为止——一次，两次，成交！倒数第二个投标者应该只在价码超出自己估价的时候退出。于是，对该项物品估价最高者将如愿以偿，而他只需支付次高开价。①
不过，这其实就是“维克利拍卖”的结果。
①
实际上，一般而言，这里存在某种最小投标增量。由于价格跳跃式上升，一场英式拍卖的预期出售价格，等于次高出价的最低出价。因此，英式拍卖与“维克利拍卖”的售价的区别，只在于出价单位的大小而已。
比较一下“维克利拍卖”与密封投标的一个更标准做法，即出价最高者胜出并支付自己开出的价码，或是在招标一份合同的时候出价最低者胜出并支付自己开出的价码。哪一种机制对卖方（或买方）更见效呢？
一个不同寻常却又真实可信的答案是，平均而言，两种机制将得出完全相同的结果。在政府为一个道路工程征集标书的案例中，将合同判给出价最低者而非出价次低者的做法，表面看来似乎具有节约预算的优势，但只要我们明白投标者有怎样的对策，确切地说就是抬高他们的出价，这一优势也就荡然无存。开价最低者得到合同，同时得到他开出的价钱，但这个价码早已被抬高了。若是对这一问题进行一个全面的数学分析，结果将显示，这个常规做法带来的预算影响，恰好等同于以第二开价支付胜方的做法的影响。这么一来，我们讨论的这一机制与常规做法相比毫无优胜之处。造成这一等同状况的直觉理由在于，两种类型的拍卖永远应该得到同一个有效率的结果；成本最低者永远应该胜出。不过，只有在人们将自己加在他人身