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；你的朋友从你没选取的牌中拿走没有硬币的一张，再问你是否改变你当初选的牌。为了证明转换选择比不转换选择更有可能获得奖品，你可以尝试以“转换选择”为策略进行数十次（比如50次）实验，再以“不转换选择”为策略进行同样多次数（比如50次）的实验。结果你会发现什么？你将发现“转换选择”的策略中得到硬币的次数基本上是“不转换选择”策略中得到硬币的次数的两倍，而这两种策略中硬币出现的频率也基本上分别接近2/3和1/3。
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＇13＇与上帝博弈（2）
当然，在一次性节目中，并不允许这样的重复实验。而且大多数人的确也不明智地选择了“不转换选择”。我曾在学生中做过这个实验，结果32人中有20人坚持“不转换选择”。这说明大多数人不清楚这样复杂的概率思考。更有意思的是，我跟我太太玩这个游戏时，她也是坚持“不转换选择”。当我告诉她如果转换可以成倍提高获奖概率时，她却说：如果我开始选对了，转换后结果错了就会后悔，所以心理素质好的就不应该转换。当然，她说的已经不是纯粹的概率计算，但也不是没有道理的。人们的行为的确不仅受制于各种精心的算计，也往往受制于某些心理因素（比如后悔）。不过，我对她的答案疑问在于：“如果开始选择对了，那么后来转换了选择会令人后悔。但是，如果后来你知道开始的选择错了，而你又没有转换选择，你就不后悔没有转换吗？”太太的回答更经典：“一开始选择错了，我只认为是运气不好，没什么可后悔的；如果开始对了，后来转换错了，才是后悔的。”这让我立即想到人们日常生活中常提到的道理：从没得到的东西，也就不会有失去它的痛苦，而已经得到的失去了，就会深感创伤。从太太的回答中，我突然明白了为什么行为博弈理论（behavioral game theory）现在大行其道。
乘车的最佳策略
一名游客要去某风景区游玩。每天开往风景区的只有三辆交通车，两趟车前后的间隔时间为5分钟。三辆车票价相同，但舒适程度则有高、中、低之分。这个游客不知道哪辆车最舒适，也不知道汽车开过来的顺序。不过对于他来说，多等5分钟或10分钟时间并无所谓，关键是要坐上最舒适的那辆车。
那么这名游客采取什么样的候车策略，才最可能搭上最舒服的那辆车呢？
这个问题，当然是一个单人决策问题，是不确定环境下的决策问题。这里的不确定性，源于游客对于不同舒适程度的三辆车开过来的顺序并不清楚。但列举起来，行车顺序无非有如下六种状态：上中下、上下中、中上下、中下上、下中上、下上中。那么我们可以虚拟一个参与人，即上帝，他选择的策略空间就是这六种状态。而且上帝这个参与人比较奇怪的一点就是，选择任何状态对他的赢利都是一样的，所以他在这六个策略之间以相同的频率随机地选择。
游客的目的是希望尽可能搭乘最舒适的车。他可以考虑的最简单的候车策略是：任意选择一辆车搭乘。他这样“随便”的选择，使他搭乘到最舒适的车的概率为1/3，这个结果一般的读者都能明白。
当然，游客也可以设计复杂一点的策略：第一辆车不上，如果第二辆比第一辆好就上第二辆，如果第二辆比第一辆差就上第三辆。这样的策略会使其搭上最舒适的车的可能性是多少？不妨把上帝可以选择的六种状态全列举出来，然后看看在哪些状态下，游客的这个策略刚好使他能够搭上最舒适的车（见图21）：
上帝选择车序 上中下 上下中 中上下 中下上 下中上 下上中
游客策略成功 否 否 是 是 否 是
图21 行车顺序的各种状态与游客策略成功性
统计一下，读者会发现，采用这个相对不那么“随便”的策略，游客乘上最舒适汽车的概率是1/2。比之“随便”策略下的概率1/3，游客现在搭上最舒适汽车的可能性增加了1/2－1/316。7％。
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＇14＇与上帝博弈（3）
这个编造出来的简单例子，说明了生活中一个很朴实的道理：存在多个候选对象的时候，没有必要仓促做决定，等一等，看一看，比较比较，可以提高获得最佳对象的概率。这里的候选对象，可以是商业计划方案，也可以是待购的物品，当然也可以是待雇用的求职者，或者是你中意的女孩—比如下面这个更复杂一点的例子。
怎样最大可能得到最好的女孩
人们常常希望能够获得一个最可爱的人作为自己的伴侣。但是，由于上帝在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。也许你很早就结婚了，但是结婚之后却又不断发现还有不少更好、更合适的潜在婚姻对象，这就是结婚太早的机会成本。那么，是不是晚一点结婚就可以避免这个问题呢？不是的！当结
婚太晚，你错过最合适的异性的可能性也就更大，这就是结婚太晚的机会成本。
那么，一个人究竟应采取什么样的策略才能最大可能遇到最适合的异性，从而使结为伴侣的机会成本最低呢？我们不妨建立一个类似前面候车问题的模型来考察，只不过我们把候选对象扩展到更多。
假设你是一个男孩，而上帝在你20～30岁之间安排了20位适合你的女孩。这些女孩都愿意作为你的伴侣，但你只能选择其中的一位。对于你来说，这20位女孩的质量是可以排序的，也就是说事后你可以对她们的质量排名，排名第一的对你来说就是最好的，排名第二十的对你来说就是最差的。可惜的是，由于20位女孩不是同时出现在你的生命中，而是按时间先后出现，每出现一个你都要决定是留下或拒绝她。如果留下她，她就会成为你的伴侣，你将再没有权利选择后面的女孩；如果拒绝她，你还可以选择后面的女孩，但对前面已经拒绝的女孩将没有机会从头再来。
20位女孩的排名虽然可以在事后确定，但是在观察完20位女孩之前，你并不知道全部女孩的排名，你只知道已经观察过的女孩中谁比谁更好。而且，上帝是完全随机地安排每个时间段出现的女孩，即出现时间的先后与女孩的质量完全没有关系。那么，你应该在什么时候决定接受一位女孩，并且使得被接受的那位女孩属于最好女孩的概率最大呢？
当然，你可以采取与候车模型中“随便”策略类似的做法，抓阄来任意选定一位女孩。如果你这样做，那么你有5％的可能性获得最好的女孩。概率比较小，很难发生。
另一种看来复杂一点的策略是：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受。这就是“等一等、看一看”的策略。在这样的策略中，你得到最好女孩的概率似乎是（10/20）×（10/19） 0。263。这个概率已经不算太小。补充说明一下此策略中概率的算法：在这样的规则下，确保得到最好的女孩必然要求最好的女孩在后10名女孩中出现—否则你怎么也得不到最好的了—其概率是10/20，同时，还要求第二好的女孩出现在前10名，其概率为10/19—为什么是10/19？因为除了最好的，剩下人数为19个，第二好的女孩出现在前10名的概率就是10/19—这样就确保了你会得到最好的女孩。
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＇15＇与上帝博弈（4）
但是，这个策略得到最好女孩的概率真的是0。263吗？可能不是，因为这只是第二好的女孩刚好出现在前10位的情况；实际上，即使第二好的女孩没有出现在先前的10位，但只要在最好的女孩出现之前的所有女孩中质量最高的出现在前10位，那么该策略也可确保得到最好的女孩（这一点要想通，否则就难以明白接下来的内容）。也就是说，该策略获得最好女孩的概率实际上是超过0。263的（我们很快会发现这个概率应是0。359 4。哇！这的确已经是一个不小的概率了）。
但是，还有更好的方法吗？或者我们可以问，放弃先出现的10位女孩是否是最优的？如果不是，那么应该放弃几位先出现的女孩呢？
幸运的是，我们的确有更好的策略（你应该先把前面的内容看懂，如果前面没看懂，下面可能就更看不懂了）。既然20位质量不同的女孩其质量在你生命里是随机出现的，没有任何规律，那么，第k个女孩刚好是最好女孩的概率是1/20，而刚好把这个最好的女孩选择到的概率是多少？对此的考虑应该是：既然给定了第k个女孩质量最好，而我们决定放弃前面n－1位女孩，从第n位开始执行前述策略的规则（第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受），那么必须要求在k之前的女孩中质量排名最高的那个必须出现前n－1位女孩中，这样才能确保k被选中，其概率就是（n－1） / （k－1）。从而第k个女孩刚好是最好的女孩而且又一定被选中的概率就是（1/20）×（n－1） / （k－1）。这里，k的取值范围显然应该是＇n； 20＇中的整数。所以，放弃n－1位女孩而一定会得到最可爱的那位女孩的概率实际上就是
这个概率可以用Mathematica软件来计算，或者用Excel来计算也可以，读者会发现，当n*8时，该概率有最大值0。384 2。也就是说，如果我们放弃前7位女孩，先看一看，心里有个谱，然后只要看到比前7位女孩中最好的还要好的女孩，那么我们就立即选择接受。而这位被接受的女孩刚好属于最好女孩的概率是0。384 2。这比我们放弃10位女孩（n*11）的策略要好，该策略根据上述公式计算得出获得最好女孩的概率为0。359 4。
我们用Mathematica软件绘出获得最好女孩的概率图形（纵轴是概率，横轴表示从第几位开始认真考虑接受。最大概率出现在n*8，即放弃前7位，从第8位开始认真考虑接受，见图22）。
根据上述结果，我们可以得出这样的结论：若一个人在20～30岁之间选择结婚对象，而这20位女孩以每年两位的平均分布出现，那么你应当在24岁才开始认真考虑终身大事。
这个例子也可任意改动数据后用同样的方法求解。比如，如果是30位女孩，那么你应该从第11位女孩开始认真考虑终身大事。
图22 转向认真考虑婚姻选择的决策点
这个例子也可以改成其他的版本，比如：在20层楼中，每层楼都放着一颗宝石，每颗宝石的大小不一。现在你从第一层开始上楼，每到一层楼你都可以决定要不要该层楼中的宝石。如果不要，不能回头。如果要，以后就不能再取。或者，有20位求职者，你希望尽可能雇用到最好的那位，但你对他们的面试机会只有一次。你应该如何才可以有最大的机会获得最大的那颗宝石（最好的那位求职者）？这个问题，据说是微软公司的面试题。但它的道理，与最大可能获得女孩的道理是一样的。
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＇16＇与上帝博弈（5）
由此还可引发出另外一重考虑：为什么在求职或演讲比赛之类的竞争场合，人们通常不愿作为第一个或前几个登台呢？而且越是好的越不愿意第一个登台呢？因为人们可能存在等一等、看一看的决策习惯，前几名往往只作为参照标准被评审人有意无意地放弃了。
不要被概率愚弄
概率计算，是一项颇具挑战性的工作。事实上，大多数人都是概率方面的白痴。即使是一些数学专家犯错误也是常事。专家尚且如此，普通大众被概率愚弄也就很正常了。下面是常见概率决策失误的例子。
一种常见错误是，人们往往有夸大小样本代表性的倾向。阿克洛夫（G。 Akerlof，2001年诺贝尔经济学奖得主）1991年的一篇文章中提到了这种现象：
让我们假定，你想买一辆新车，并从价格经济和使用寿命角度考虑决定买沃尔沃或萨帕。作为精明的买家，你阅读了《消费者调查》获取相关信息，发现大多数专家认为沃尔沃的机械性能更好，大多数读者认为沃尔沃有良好的维修记录。在这些信息的武装下，你准备下周就去和沃尔沃销售商谈判。然而，在这个周末你参加了一次聚会，和一个熟人谈起你的打算，他的反应是质疑和警告：“买沃尔沃！不会是开玩笑吧？我姐夫有一辆沃尔沃，先是计油器出问题，然后是后备箱出问题，再后来是变速器和离合器。最后，不到三年就把那辆车当废品卖掉了。”
在这种情况下，你还会买沃尔沃吗？估计你会立即转向购买萨帕了。但是，仔细想想，你的朋友提供的信息，不过是在