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在这种情况下，你还会买沃尔沃吗？估计你会立即转向购买萨帕了。但是，仔细想想，你的朋友提供的信息，不过是在有关沃尔沃的大量样本信息中再加入一个样本信息而已，并不足以改变样本的平均值—也就是说，仅凭你朋友的一席话，并不足以改变原先支持你选择沃尔沃的理由。但是，现实中有多少人还能这样理性地思考呢？
类似地，人们也常常犯下以总体特征来推断小样本特征的错误。譬如许多人认为，一家医院中一年出生的小孩大致应该是男孩和女孩各占50％左右。事实上，很多小医院的出生性别比完全不是这样。一个城市的出生性别比可能是1：1，但这不等于在更小的单位也是如此。如果你不能理解小医院为什么通常不是1：1的性别比，那么你想想更小的单位，比如家庭，有多少家庭出生的小孩会是男孩女孩各占一半呢？读者有必要记住，小样本的特征不一定服从总体的特征，所以不能把总体的特征作为小样本特征的描述。当然，反过来也一样，小样本难以反映总体的情况，所以也不能把小样本特征当做总体特征。比如，不能看到几个没文化的人比几个有文化的人赚了更多的钱，就得出结论说文化程度高对提高经济收入并没有帮助。又比如，你不能因为看到一个无臂人用脚画画很好，就得出结论说要学好画画就要砍掉双手一样。可是现实中却有持这种逻辑的人。
另一种常见的错误是人们常常忽略了随机事件的独立性，错误地把它们关联起来。比如掷硬币，每一次投掷出现正面或反面的概率都是0。5。也就是说，以前曾经出现过什么样的历史，对于下一次投掷的结果是没有影响的。考虑你现在参加投掷硬币的赌博游戏，每投掷一次赌注1元。已经投了9次结果都很“偶然”地出现了正面，现在面临第10次投掷，你应该选择押注正面还是反面？有不少人是这样想的，既然已经出现了9次正面，均匀的硬币要连续出现10次正面的概率太小了（这个概率为0。510 0。097 7％），因此下一次出现反面的概率应该很大。这样的决策，忽略了下一次投掷概率与历史无关的事实。只要硬币是均匀的，不管前9次结果如何，下一次正面和反面出现的概率均为0。5，所以你押注哪一面，胜负概率都一样。当然，这里还有另一种可能，那就是硬币不是均匀
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＇17＇与上帝博弈（6）
的，所以前面9次出现正面并不那么“偶然”，如此第10次还很有可能出现正面—你现在应该选择的就是正面，而不是像先前所思考的那样选择反面。
这个赌硬币的例子和股票市场很类似。股票市场也充满了随机性。基本上有两种投资理念，一种认为股票价格完全随机，与业绩无关，这种情况下股票与均匀硬币本质上是一样的，股票价格的历史表现不足以作为决策的依据，因为未来价格与历史价格无关；另一种观点认为，股票的长期业绩较好，很可能表明股票存在内在价值支撑，这就与非均匀材质的硬币一样，按照这样的理念，那么过去业绩表现较好的，在未来也更有可能表现出较好的业绩。这两类观点究竟哪一类更符合股票市场的现实？现在似乎还没有研究可以将它们检验出来。但是通过一些仿真实验可以明白的是，存在大量均匀和非均匀的硬币不断投掷，比如经过30轮投掷，能够保持30次都在正面的硬币仍然存在，而这些硬币也并不完全是非均匀的硬币，这表明可能部分股票的业绩确实有内在支撑，但也有些股票业绩良好可能仅仅是偶然因素。
还有一种经常犯错误的情况是很多人不善于从结果去推断信息，以至于过度夸大了某些后果的严重性。我太太的一个朋友怀了小孩，因高龄怀孕担心胎儿的健康做了唐氏筛查。唐氏综合征俗称先天性痴呆，是最常见的一种染色体疾病。怀孕年龄越大，胎儿患此病的概率越高，按照年龄段来看这位朋友胎儿患此病的概率为0。13％。如果胎儿确实患有此病，则唐氏筛查有80％的可能性会查出来（也就是有20％的可能性查不出，但胎儿实际上是患病的）；如果胎儿未患此病，则不会查出异常。这位朋友不放心去做了筛查，结果没什么问题，但她反而更担心了。我太太说，没检查出问题不是很好吗，可以放心了；她却说，还是有20％的可能性患病啊，只是没有查出来啊。我太太的数学很差，听她这样说也懵了，但又觉得不对劲，回来问我，为什么检查无恙之后，患病的概率反而提高了？我一听就觉得好笑：她们是先验地假定胎儿已经患上唐氏综合征，所以才会认为未检查出病状有20％的患病概率；事实上，胎儿患病的概率仅为0。13％，检查后未发现异常而胎儿患病的概率应是 （0。13％×20％） / （0。13％×20％＋99。87％×100％） 0。026％，比未检查时的0。13％概率降低了约80％。
也许聪明的读者会觉得这些失误太明显了，自己不会犯这样的错误。那么请你看看下面这则报道是否存在问题。有一份关于中国吸烟与健康的研究报告写道：“吸烟与肺癌发生的关系已为众多的实验研究以及多个设计严格的大宗人群研究所证实。约80％以上的肺癌与吸烟（包括被动吸烟）有关。”读完这话，你是不是觉得吸烟很可能导致患肺癌（即认为吸烟是一个严重损害健康的问题）？吸烟几乎就是肺癌的罪魁？如果你认为是，不妨继续往下看。
我国约有36％的烟民；肺癌发病率（缺乏中国数据，以世界数据0。333％代替）；肺癌患者80％是烟民或被动吸烟者，即是说肺癌患者中还有20％是非吸烟者；为了让不太熟悉概率的读者能够理解，我不妨假设肺癌患者共100名，其中80名是为烟民或被动吸烟者，20名是非吸烟者。那么我们据此可推算社会总体人口为100 / （0。333％） 30 030人，其中烟民为
30 030 （36％） 10811人，被动吸烟者的频率不知，姑且假设为X人，那么吸烟者（包括烟民和被动吸烟者）致癌的概率为80 / （10 811＋X）。非吸烟者的致癌概率为20 / （30 030－10 811－X）。稍加计算就可以知道，除非被动吸烟者数量X<；13 213，或被动吸烟者比例小于44％，吸烟者患癌症的概率才会
超过非吸烟者患癌症的概率。在缺乏被动吸烟者比例的情况下，我们无法推断出吸烟对癌症究竟有多大影响。
不过，这份报告披露了我国男性吸烟率为66％，女性吸烟率为3。1％；而男性肺癌发病率为0。355％，女性为0。312％。而一个社会男女性别比基本上为1：1，则按照我们前面的假设，100个肺癌患者中，大约有100＇0。355 / （0。355＋0。312）＇ 53人为男性，有100－53 47人为女性。社会中男女基本上相等意味着这个社会分别有30 030 （0。5） 15 015个男性和女性。两个人口总量相等、烟民结构完全不同（一个有过半烟民，一个只有少数烟民）的群体，肺癌发病率和发病人数竟然如此接近，这能说明吸烟是肺癌的发病罪魁吗？
我应当承认，在上述两段推理中，在某些地方我用世界数据来代替中国数据（因为找不到中国数据），可能存在偏差。不过我的本意不在为吸烟致癌翻案，所以问题不算严重。我只是想借此说明，在对公众发布信息的时候，应尽量提供背景信息，以免误导公众；更不能有意隐瞒关键信息，利用公众缺乏概率推断能力而有意误导公众。同时也说明，如果读者能多掌握一点概率推断的知识，就会更少地受到媒体的欺骗。
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＇18＇面对不确定性的制胜策略（1）
有些游戏，虽然参加者不止一个人，存在好几个利益冲突的博弈方。但是，博弈的结果很大程度上将依赖于“运气”而不是互动策略的考量，此时的博弈问题，实际上仍可看做不确定性环境的单人概率决策问题。参与人的出招关键是找出最有可能制胜的策略。
俄罗斯轮盘：谁都没有优势
俄罗斯轮盘（Russian roulette）是一个非常残酷的赌博游戏。经典的俄罗斯轮盘赌游戏如同电影《猎鹿者》（The Deer Hunter，1978）中所描述的虐待战俘的方法：在一支可装六发子弹的左轮手枪里，只放一颗子弹，随机地一转后，要求两名战俘轮流用手枪对准自己的头部发射，直到一名战俘中枪，另一名战俘才逃过一劫。
这种残酷游戏据说最早可以追溯到克里米亚半岛，不过真正流行还是在第一次世界大战期间。当时，白天打了败仗的沙俄军官和士兵到了夜里便借酒浇愁，于是“俄罗斯轮盘赌”便成了最好的“助兴”节目。虽然屡屡有人惨死在枪下，但是这种惊险刺激的游戏却在俄罗斯越来越流行，甚至赢得了“俄罗斯轮盘赌”的“美名”。
不过，我在这里要问的问题是：这样的游戏对于先发者或者后发者是否会更有利或更不利呢？我曾把这个问题贴在人大经济论坛（/ bbs），既有网友认为先发者更有利，也有网友认为后发者更有利。
而实际上，这是一个纯粹凭运气的博弈。子弹装上再一转之后，子弹的位置就已经固定下来，因而究竟是先发者死亡还是后发者死亡也就确定下来。如果子弹正好在1、3、5的位置，则先发者将死亡；如果子弹在2、4、6的位置，则后发者死亡。而子弹进入1、3、5以及进入2、4、6的概率各为1/2。因此，先发者和后发者的死亡概率均为1/2，并不存在先发优势或后发优势。
当然，可能确有始终被运气眷顾的人，比如英国作家格雷厄姆·格林。他曾对俄罗斯轮盘赌乐此不疲，认为这是一剂解乏的“良药”。年轻时他曾对未婚妻这样写道：“以这样的方式自杀实在太刺激了。”后来他承认当自己在大学念书的时候，夜深人静时常在宿舍里玩这种游戏。令人惊奇的是，他自己如履薄冰地幸运活了下来，而他的同伴中却屡屡有人死于非命。
回头再讨论一下人们对俄罗斯轮盘中的概率的看法。不少网友竟然认为这当中存在先发优势或后发优势—这让我想到生活中的抓阄。比如，有一份不可分割的物品，需要分配给5个人，为保证公平采用抓阄的方式确定谁将得到这份物品。五个信封中只有一个信封内的纸片上写着获得该物品。不少人以为先抓阄和后抓阄可能面临不同的机会。但是，真的是这样吗？
一个博弈论专家的教训
俄罗斯轮盘赌中的胜负纯粹依靠运气。但是在另一场轮盘赌中，一个博弈论专家本可稳操胜券，却因为未曾细想其策略而满盘皆输。
巴里·奈尔伯夫（Barry Nalbuff）是一个博弈论经济学家。他与迪克西特合作的《策略思维》是一本非常著名的博弈论科普之作。在那本书中记录了巴里的一次深刻教训。话说当年巴里为了庆祝大学毕业，参加了剑桥大学的五月舞会。庆祝活动的一部分包括在一个赌场下注。每人都得到相当于20美元的筹码，截至舞会结束时候，收获最多的一位将免费获得下一年度舞会的入场券。到了最后一轮轮盘赌的时候，纯粹是出于一个令人愉快的巧合，巴里手中已经拥有了相当于700美元的筹
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＇19＇面对不确定性的制胜策略（2）
码，独占鳌头。第二名是一位拥有300美元筹码的英国女子。其他参与者实际上已经被淘汰出局。该女子提出与巴里分享下一年的入场券，但是巴里拒绝了。是的，自己占有绝对的优势，怎么可能满足于得到一般的奖赏呢？
为了理解接下来的策略，有必要交代一下轮盘赌的规则。典型的轮盘赌是轮盘上刻有37个数字，标记为0～36。轮盘赌的输赢取决于轮盘停止转动时小球落在哪一格。假如小球落在0处，就算庄家赢。轮盘赌最可靠的玩法就是赌小球落在偶数还是奇数。这种玩法的赔率是一赔一，比如1美元赌注变成2美元，不过取胜的机会只有18/37（37个格中除了0外只有18个偶数，或18个奇数）。采取这样一种玩法，即使该女子押上全部300美元筹码也不能稳操胜券。因此她被迫选择一种风险更大的玩法，她把全部的筹码押在小球落在3的倍数上。这种玩法的赔率是二赔一（若她赢了，则她的300美元将变成900美元），但取胜的机会只有12/37（37格中除0外有12个数字是3的倍数）。
现在，那名女子已经将她的筹码摆上桌面，表示已经下注，不能反悔。那么巴里应该怎么办呢？
读者也可以先想一想巴里应该怎么办。真实的结果是，巴里将200美元押在偶数上，并且嘀咕他输掉冠军宝座的唯一可能性就是他输并且她赢，而这种可能性发生的几率为1∶5，因此形势对他非常有利。然而，几率为
1∶5的事件�